Um barco rumo ao norte cruza um rio largo com velocidade de 10 km/h em relação à água e está a 5 km/h para leste. Qual é a velocidade em relação ao observador terrestre estacionário?

A velocidade do barco em relação ao observador estacionário no solo pode ser encontrada usando a adição de vetores. Podemos representar a velocidade do barco em relação à água como um vetor \(\overrightarrow{v_b}\) de magnitude 10 km/h em um ângulo de 0° (já que o barco está indo para o norte). A velocidade da água em relação ao solo pode ser representada como um vetor \(\overrightarrow{v_w}\) de magnitude 5 km/h em um ângulo de 90° (já que a água está fluindo para o leste).

Para encontrar a velocidade do barco em relação ao solo, somamos os dois vetores:

$$\overrightarrow{v} =\overrightarrow{v_b} + \overrightarrow{v_w}$$

Usando a lei dos cossenos, podemos encontrar a magnitude do vetor resultante:

$$v =\sqrt{v_b^2 + v_w^2 + 2v_bv_w\cos\theta}$$

onde \(\theta\) é o ângulo entre os dois vetores. Substituindo os valores dados, obtemos:

$$v =\sqrt{10^2 + 5^2 + 2(10)(5)\cos90°}$$

$$v =\sqrt{100 + 25 + 0}$$

$$v =\sqrt{125}$$

$$v =11,18 \text{ km/h}$$

Para encontrar o ângulo do vetor resultante, podemos usar a lei dos senos:

$$\sin\theta =\frac{v_w\sin\theta}{v}$$

Substituindo os valores dados, obtemos:

$$\sin\teta =\frac{5\sin90°}{11,18}$$

$$\sin\theta =\frac{5}{11.18}$$

$$\theta =\sin^{-1}\left(\frac{5}{11.18}\right)$$

$$\teta =26,57°$$

Portanto, a velocidade do barco em relação ao observador terrestre estacionário é de 11,18 km/h em um ângulo de 26,57° ao norte de leste.